Aprendiendo la Matematicas

Historia: 

Antes de que surgieran los números para la representación de cantidades, el hombre usó otros métodos para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos (ver sistema de numeración unario).  

Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una vara o simplemente trazos específicos sobre la arena (Véase hueso de Ishango). Pero fue en Mesopotamia alrededor del año 4.000 a. C. donde aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en formas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado. De aquí el nombre de escritura cuneiforme. Este sistema de numeración fue adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes, en la Grecia Antigua y en la Antigua Roma. En la Grecia antigua se empleaban simplemente las letras de su alfabeto, mientras que en la antigua Roma además de las letras, se utilizaron algunos símbolos.

Conjuntos de números naturales:

Es cualquiera de los números que se usan para contar y ordenar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos. Por ejemplo, para contar los habitantes de un país. 

Orden de los números naturales:

Los números naturales sirven para contar y ordenar los elementos de un conjunto. Por ejemplo en una carrera de fórmula 1, no solamente es necesario  conocer cuantos carros terminan la carrera; también es importante saber el orden en que llegan a la meta.  

El orden resulta al comparar dos números naturales y determinar cuál es el menor y cuál es el mayor. Cuando se comparan dos números naturales a y b, se cumple una y solo una de las siguientes condiciones: 

• a es mayor que b. esta relación se escribe a>b
• a   es menor que b. esta relación se escribe a<b
• a   es igual a b. esta relación se escribe a=b

Un número natural es mayor que otro, si está colocado a la derecha de él en la recta numérica.

Suma de números naturales:
En toda suma de números hay varios elementos: los números que se van a sumar llamados sumandos y el resultado de la operación llamado suma.

Ejemplo:              20 + 56 + 9 = 85 

En cualquier suma se verifica que: sumando desconocido = suma – sumando conocido

Ejemplos  

a)     57 +? = 73

     ? = 73 – 57

    ? = 16

 b)  12 + 25 +? = 84

  37 +? = 84

    ? = 84 – 37    ? = 47        

   

Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma.

Propiedades de la suma:

 

Ejemplo de Asociativa

(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

5 + 5 = 2 + 8

10 = 10

Ejemplo de Conmutativa:

2 + 5 = 5 + 2

7 = 7

Ejemplo de Elemento neutro: 

3+0=3

                               

Conjunto de números enteros

Los números enteros son elementos de un conjunto de números que reúne a los positivos (1, 2, 3, ...), a los negativos opuestos de los anteriores: (..., −3, −2, −1) y al 0. Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno», «menos tres», etc.), son menores que todos los enteros positivos (1, 2, ...) y que el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a veces también se escribe un signo «más» delante de los positivos: +1, +5, etc. Cuando no se le escribe signo al número se asume que es positivo. Si se considera ℕ = { 1,2,3,...} ¹ , entonces un entero natural es un entero positivo y el conjunto ℕ es parte propia de conjunto ℤ. El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}, letra inicial del vocablo alemán Zahlen («números», pronunciado [ˈtsaːlən]).

Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de forma similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario calcular también el signo del resultado.

Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas. Pueden utilizarse para contabilizar pérdidas: si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de primer curso un cierto año, pero hay 100 alumnos de último curso que pasaron a educación secundaria, en total habrá 100 − 80 = 20 alumnos menos; pero también puede decirse que dicho número ha aumentado en 80 − 100 = −20 alumnos.

Numero con signo:

Además, para distinguirlos mejor, a los números naturales se les añade un signo más («+») delante y se les llama números positivos.

El cero no es positivo ni negativo, y puede escribirse con signo más o menos o sin signo indistintamente, ya que sumar o restar cero es igual a no hacer nada. Toda esta colección de números son los llamados «enteros».

Los números enteros son el conjunto de todos los números enteros con signo (positivos y negativos) junto con el 0. Se les representa por la letra Z, también escrita en «negrita de pizarra» como ℤ :

RECTA NUMERICA:
Los números enteros negativos son más pequeños que todos los positivos y que el cero. Para entender como están ordenados se utiliza la recta numérica:
Se ve con esta representación que los números negativos son más pequeños cuanto más a la izquierda, es decir, cuanto mayor es el número tras el signo. A este número se le llama el valor absoluto:

El orden de los números enteros se define como:

·        Dados dos números enteros de signos distintos, +a y −b, el negativo es menor que el positivo: −b < +a.

·        Dados dos números enteros con el mismo signo, el menor de los dos números es:

El de menor valor absoluto, si el signo común es «+».

El de mayor valor absoluto, si el signo común es «−».

·        El cero, 0, es menor que todos los positivos y mayor que todos los negativos.

Ejemplo. +23 > −56 , +31 < +47 , −15 < −9 , 0 > −36




OPERACIONES CON NUMEROS ENTEROS:
Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, igual que puede hacerse con los números naturales.

Suma

En esta figura, el valor absoluto y el signo de un número se representan por el tamaño del círculo y su color. 

En la suma de dos números enteros, se determina por separado el signo y el valor absoluto del resultado.

Para sumar dos números enteros, se determina el signo y el valor absoluto del resultado del siguiente modo:

 

• Si ambos sumandos tienen el mismo signo: ese es también el signo del resultado, y su valor absoluto es la suma de los valores absolutos de los sumandos.
• Si ambos sumandos tienen distinto signo:

• El signo del resultado es el signo del sumando con mayor valor absoluto. 
• El valor absoluto del resultado es la diferencia entre el mayor valor absoluto y el menor valor absoluto, de entre los dos sumandos.

Ejemplo. (+21) + (−13) = +8 , (+17) + (+26) = +43 , (−41) + (+19) = −22 , (−33) + (−28) = −61



La suma de números enteros se comporta de manera similar a la suma de números naturales y cumple con las siguientes propiedades:

• Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, las sumas (a + b) + c y a + (b + c) son iguales.
• Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, las sumas a + b y b + a son iguales.

Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al sumarles 0: a + 0 = a. 

Ejemplo.

1.    Propiedad asociativa:

[ (−13) + (+25) ] + (+32) = (+12) + (+32) = (+44)

(−13) + [ (+25) + (+32) ] = (−13) + (+57) = (+44)

2.   Propiedad conmutativa:

(+9) + (−17) = −8

(−17) + (+9) = −8

 

Además, la suma de números enteros posee una propiedad adicional que no tienen los números naturales:

Resta

La resta de números enteros es muy sencilla, ya que ahora es un caso particular de la suma.

La resta de dos números enteros (minuendo menos sustraendo) se realiza sumando el minuendo más el sustraendo cambiado de signo.

Ejemplos
(+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15
(−7) − (+6) = (−7) + (−6) = −13
(−4) − (−8) = (−4) + (+8) = +4
(+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7




Multiplicación:
La multiplicación de números enteros, al igual que la suma, requiere determinar por separado el signo y valor absoluto del resultado.

En la multiplicación (o división) de dos números enteros se determinan el valor absoluto y el signo del resultado de la siguiente manera: El valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores. El signo es «+» si los signos de los factores son iguales, y «−» si son distintos.

 

Ejemplo. (+4) × (−6) = −24 , (+5) × (+3) = +15 , (−7) × (+8) = −56 , (−9) × (−2) = +18.





La multiplicación de números enteros tiene también propiedades similares a la de números naturales:

La multiplicación de números enteros cumple las siguientes propiedades:

 

• Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, los productos (a × b) × c y a × (b × c) son iguales.
• Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, los productos a × b y b × a son iguales. 
• Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al multiplicarlos por 1: a × 1 = a.

 

Ejemplo.

1. Propiedad asociativa:

1. [ (−7) × (+4) ] × (+5) = (−28) × (+5) = −140

(−7) × [ (+4) × (+5) ] = (−7) × (+20) = −140

2. Propiedad conmutativa:

(−6) × (+9) = −54

(+9) × (−6) = −54

La suma y multiplicación de números enteros están relacionadas, al igual que los números naturales, por la propiedad distributiva:

Propiedad distributiva. Dados tres números enteros a, b y c, el producto a × (b + c) y la suma de productos (a × b) + (a × c) son idénticos.

Ejemplo.

• (−7) × [ (−2) + (+5) ] = (−7) × (+3) = −21
• [ (−7) × (−2) ] + [ (−7) × (+5) ] = (+14) + (−35) = −21

Ecuaciones:

Ecuaciones con números naturales y el cero, algunas para resolverlas usando propiedades uniformes y otras para usar los pasajes de términos.

Propiedades de la ecuación:

Suma:

X+34=67

Resta:

x - (- 5000) = 4000
x + 5000 = 4000
x + 5000 - 5000 = 4000 - 5000
x + 0 = - 1000
x = - 1000

Multiplicación:

x * 50 = 1000
x * 50 ÷ 50 = 1000 ÷ 50
x * 1 = 20
x = 20
Verifica el resultado sustituyendo la respuesta (20) nuevamente en la ecuación.
20 * 50 = 1000

Divisiones:

Ejemplo:
x ÷ 5 = 2
x ÷ 5 * 5 = 2 * 5
x ÷ 1 = 10
x = 10
Verifica el resultado sustituyendo la x por el resultado (10).
10 ÷ 5 = 2